Riassunto: Insiemi e numeri

📋 Schema del Corso

1. Insiemi ed elementi
2. Sottoinsiemi e uguaglianza
3. Operazioni tra insiemi
4. Partizioni e prodotto cartesiano
5. Cardinalità e insiemi infiniti
6. Numeri naturali, interi e razionali
7. Numeri decimali e approssimazioni
8. Notazione scientifica e grandezza

📖 1. Insiemi ed elementi

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Insieme: Raggruppamento di oggetti definito da un criterio oggettivo che permette di stabilirne gli elementi.
• Insieme vuoto: L’insieme vuoto è un insieme privo di elementi e si indica con ∅.

★ Da sapere

📌 Un insieme è finito se contiene un numero finito di elementi, mentre è infinito se i suoi elementi non sono in numero finito.

Approfondimenti

• Gli insiemi si indicano con lettere maiuscole e i loro elementi con lettere minuscole.

• Un insieme può essere descritto in tre modi:
  • con un diagramma di Eulero-Venn
  • elencandone gli elementi
  • indicando la proprietà caratteristica

📖 2. Sottoinsiemi e uguaglianza

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Sottoinsieme: B è sottoinsieme di A, scritto B ⊆ A, se ogni elemento di B appartiene ad A.
• Insiemi uguali: Insiemi con gli stessi elementi, ciascuno dei quali è sottoinsieme dell’altro.
• Complementare: Il complementare di A rispetto all’universo U è l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A.

📝 Punti essenziali

📌 B è incluso strettamente in A, scritto B ⊂ A, se B ⊆ A e almeno un elemento di A non appartiene a B.

• Ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso e l’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.

💡 Trucco mnemonico

Appartenenza riguarda un elemento; inclusione riguarda un insieme.

📖 3. Operazioni tra insiemi

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Intersezione: L’intersezione A ∩ B è l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B.
• Unione: L’unione A ∪ B è l’insieme degli elementi che appartengono ad A oppure a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi.
• Differenza tra insiemi: La differenza A − B è l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B.
• Insieme delle parti: L’insieme delle parti P(A) è l’insieme di tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A; se A ha n elementi, P(A) ne ha 2^n.

📝 Punti essenziali

📌 Due insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è vuota.

💡 Trucco mnemonico

L’unione raccoglie gli elementi di almeno un insieme; l’intersezione quelli comuni.

📖 4. Partizioni e prodotto cartesiano

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Partizione: Una partizione di A è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti e a due a due disgiunti la cui unione è A.
• Prodotto cartesiano: Il prodotto cartesiano A × B è l’insieme delle coppie ordinate (x; y) con x ∈ A e y ∈ B.

📝 Punti essenziali

• La coppia ordinata (x; y) è diversa da (y; x) in generale, e se A e B hanno rispettivamente n e m elementi, A × B ha n × m elementi.

📖 5. Cardinalità e insiemi infiniti

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Cardinalità: Numero degli elementi di un insieme finito.
• Equipotenza: Insiemi tra i quali si può stabilire una corrispondenza biunivoca.
• Insieme infinito: Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

📝 Punti essenziali

• L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri pari sono equipotenti, benché i pari siano un sottoinsieme proprio dei naturali.

💡 Trucco mnemonico

Immagina le frecce che accoppiano ogni naturale con un numero pari.

📖 6. Numeri naturali, interi e razionali

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Numeri naturali: I numeri naturali sono i numeri usati per contare, formano un insieme infinito ordinato e sono chiusi rispetto ad addizione e moltiplicazione.

• Numeri interi: Gli interi Z comprendono zero, numeri positivi e numeri negativi e contengono N come sottoinsieme.
• Numeri razionali: I razionali Q sono i numeri esprimibili come a/b, con a e b interi e b diverso da zero, e contengono Z.
• Numeri reali: I numeri reali R comprendono tutti i numeri razionali e irrazionali.

📝 Punti essenziali

• In N, addizione e moltiplicazione sono associative e commutative e hanno rispettivamente 0 e 1 come elementi neutri.

• In Z sono interne addizione, sottrazione e moltiplicazione, e ogni equazione del tipo x + a = b è risolubile.

• In Q sono interne addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per un numero diverso da zero; le equazioni x · b = a con b ≠ 0 ammettono soluzione.

• Tra due numeri razionali a e b esiste sempre un altro razionale, per esempio (a + b)/2.

• R ha cardinalità maggiore di N e soddisfa la proprietà dell’estremo superiore: ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha un estremo superiore.

💡 Trucco mnemonico

N → Z → Q: si aggiungono prima gli opposti, poi le frazioni.

📖 7. Numeri decimali e approssimazioni

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Numero decimale: In un numero decimale, la parte intera precede la virgola e la parte decimale la segue.
• Numero irrazionale: Un numero irrazionale non è esprimibile mediante una frazione e ha uno sviluppo decimale infinito non periodico.
• Frazione decimale: Una frazione decimale è una frazione il cui denominatore è una potenza di 10.

★ Da sapere

📌 La divisione del numeratore per il denominatore produce un decimale finito se il resto è zero e un decimale periodico se da un certo punto in poi le cifre si ripetono.

• Ogni numero razionale corrisponde a un decimale finito o periodico, e ogni decimale finito o periodico può essere trasformato in una frazione.

• 🔄 Per arrotondare: si osserva la prima cifra da trascurare, se è almeno 5, si aumenta di 1 l’ultima cifra mantenuta, se è minore di 5, si lascia invariata l’ultima cifra mantenuta

Approfondimenti

📌 Un decimale periodico è semplice se il periodo inizia subito dopo la virgola ed è misto se lo precede un antiperiodo.

📌 L’errore relativo informa sulla grandezza dell’errore rispetto al valore approssimato, mentre l’errore assoluto non fornisce questo confronto.

💡 Trucco mnemonico

Decimale finito: resto zero; periodico: il resto genera cifre che si ripetono.

📖 8. Notazione scientifica e grandezza

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Notazione scientifica: In notazione scientifica un numero è scritto come prodotto tra un coefficiente d con 1 ≤ d < 10 e una potenza di 10.
• Ordine di grandezza: Potenza di 10 più vicina al numero.

📝 Punti essenziali

• Spostando la virgola di n posti a sinistra si moltiplica il coefficiente per 10^n, mentre spostandola a destra si usa 10^(−n).

• Nelle moltiplicazioni e divisioni in notazione scientifica si operano separatamente i coefficienti e le potenze di 10, sommando o sottraendo gli esponenti.

• Per sommare o sottrarre numeri in notazione scientifica, le potenze di 10 devono prima avere lo stesso esponente.