Riassunto: Nozioni di base di matematica

📋 Schema del Corso

1. Insiemi numerici e loro usi
2. Potenze e regole di calcolo
3. Logaritmi e relazioni inverse
4. Sommatorie e induzione
5. Coefficienti binomiali
6. Operazioni tra insiemi
7. Funzioni reali e rappresentazioni
8. Funzioni lineari e modelli economici
9. Funzioni quadratiche e polinomi
10. Composizione e funzione inversa
11. Esponenziale e logaritmo naturale
12. Organizzazione e obiettivi del corso

📖 1. Insiemi numerici e loro usi

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Insiemi numerici: gli insiemi usuali sono N, gli interi naturali; Z, gli interi relativi; Q, i numeri razionali; e R, i numeri reali.

★ Da sapere

• Le inclusioni tra gli insiemi numerici sono $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Approfondimenti

• I numeri di persone sono generalmente naturali, i prezzi possono essere razionali e un tasso di crescita può essere irrazionale.

💡 Trucco mnemonico

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R: naturali, interi, razionali, reali

📖 2. Potenze e regole di calcolo

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Potenza: Una potenza di base reale a ed esponente naturale n è il prodotto $a^n = a \cdot a \cdots a$ di n fattori uguali ad a.

★ Da sapere

📐 Formula - Le principali regole delle potenze sono $a^m a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ per $a\ne0$, e $(ab)^n=a^n b^n$.

Approfondimenti

• Nel problema della scacchiera di Sissa, il numero di chicchi di riso raddoppia da una casella alla successiva fino alla 64ª casella.

💡 Trucco mnemonico

La scacchiera di Sissa raddoppia i chicchi a ogni casella

📖 3. Logaritmi e relazioni inverse

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Logaritmo: Il logaritmo in base b di a è l’unico numero x tale che $b^x=a$, indicato con $\log_b(a)$.

★ Da sapere

📐 Formula - Per a,b,c>0 valgono $\log_c(ab)=\log_c a+\log_c b$ e $\log_c\left(\frac{a}{b}\right)=\log_c a-\log_c b$.

Approfondimenti

📐 Formula - La formula di cambiamento di base è $\log_b(a)=\frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$.

💡 Trucco mnemonico

La potenza produce il risultato, il logaritmo ritrova l’esponente

📖 4. Sommatorie e induzione

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Sommatoria: La sommatoria $\sum_{i=1}^{6}N_i$ rappresenta la somma di N_i per i da 1 a 6, dove i è un indice muto.

★ Da sapere

• La dimostrazione per induzione verifica una proprietà iniziale e poi dimostra che la sua validità per k implica la validità per k+1.

Approfondimenti

📐 Formula - Per ogni n naturale, la somma dei primi n numeri dispari soddisfa $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$.

💡 Trucco mnemonico

La sommatoria abbrevia una somma, l’induzione dimostra una formula generale

📖 5. Coefficienti binomiali

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Coefficiente binomiale: Il coefficiente binomiale $\binom{m}{k}$ indica il numero di modi di scegliere k elementi tra m elementi e vale $\binom{m}{k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}$.

★ Da sapere

📐 Formula - La formula del binomio di Newton è $(a+b)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}a^{m-k}b^k$.

Approfondimenti

📐 Formula - L’identità di Pascal è $\binom{m+1}{k}=\binom{m}{k}+\binom{m}{k-1}$.

💡 Trucco mnemonico

Il triangolo di Pascal contiene i coefficienti delle potenze di a+b

📖 6. Operazioni tra insiemi

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Insieme: una collezione di oggetti chiamati elementi, e la notazione x∈A indica che x appartiene all’insieme A.
• Operazioni tra insiemi: L’unione raccoglie gli elementi di A o B, l’intersezione quelli comuni, la differenza A\B quelli di A che non appartengono a B, e A⊆B indica che ogni elemento di A appartiene a B.
• Insieme vuoto: L’insieme vuoto è l’insieme che non contiene elementi ed è indicato con ∅; due insiemi sono disgiunti se la loro intersezione è ∅.

💡 Trucco mnemonico

L’unione raccoglie, l’intersezione conserva ciò che è comune

📖 7. Funzioni reali e rappresentazioni

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Funzione reale: una regola che associa un’unica immagine reale f(x) a ogni x di un dominio D⊆R.
• Dominio e immagine: Il dominio di definizione è l’insieme degli x per cui f(x) è definita, mentre l’insieme immagine è l’insieme dei valori possibili di f(x).

📝 Punti essenziali

• Il grafico di una funzione f è l’insieme dei punti (x,f(x)) per x appartenente al dominio.

📖 8. Funzioni lineari e modelli economici

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Funzione lineare: Una funzione lineare ha forma f(x)=ax+b, dove a è la pendenza e b l’intercetta sull’asse verticale; è crescente se a>0 e decrescente se a<0.

📝 Punti essenziali

• Con budget 30, prezzi 2 e 3 e quantità x e y, la restrizione di bilancio è $2x+3y\le30$.

• Nel modello D(p)=100−p e S(p)=10+2p, l’equilibrio è p*=30 e q*=70; per p<30 si verifica penuria, mentre per p>30 si verifica eccedenza.

💡 Trucco mnemonico

Prezzo sotto l’equilibrio: penuria; prezzo sopra l’equilibrio: eccedenza

📖 9. Funzioni quadratiche e polinomi

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Funzione quadratica: Una funzione quadratica ha forma f(x)=ax²+bx+c con a≠0 e il suo grafico è una parabola rivolta verso l’alto se a>0 e verso il basso se a<0.
• Polinomio: Un polinomio di grado n ha forma f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+⋯+a_1x+a_0, con coefficienti reali e a_n≠0.

★ Da sapere

📐 Formula - Il vertice di una funzione quadratica ha ascissa $x=-\frac{b}{2a}$ e la sua ordinata è il valore della funzione in tale punto.

• Il discriminante $b^2-4ac$ determina il numero di zeri: due se è positivo, uno se è nullo e nessuno se è negativo.

Approfondimenti

• Per la funzione di profitto π(Q)=−2Q²+10Q, il profitto massimo si ottiene con Q=2,5 e vale π(2,5)=12,5.

💡 Trucco mnemonico

a>0 dà un minimo, mentre a<0 dà un massimo

📖 10. Composizione e funzione inversa

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Funzione composta: Se l’immagine di f è contenuta nel dominio di g, la funzione composta è (g∘f)(x)=g(f(x)), con f funzione interna e g funzione esterna.

📝 Punti essenziali

• Somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni sono definiti rispettivamente da (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f−g)(x)=f(x)−g(x), (fg)(x)=f(x)g(x) e (f/g)(x)=f(x)/g(x) quando g(x)≠0.

💡 Trucco mnemonico

Funzione interna → funzione esterna; poi il percorso inverso

📖 11. Esponenziale e logaritmo naturale

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Funzione inversa: La funzione inversa f⁻¹ soddisfa f⁻¹(f(x))=x e f(f⁻¹(x))=x, e può esistere quando f è iniettiva sul proprio dominio.

📝 Punti essenziali

• I grafici di una funzione e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla retta y=x.

💡 Trucco mnemonico

exp aumenta secondo e^x, mentre ln ne annulla l’effetto

📖 12. Organizzazione e obiettivi del corso

🔑 Concetti chiave e definizioni

• Funzione esponenziale: La funzione esponenziale è exp(x)=e^x, dove e≈2,7183, e il suo reciproco funzionale è il logaritmo naturale ln(x)=log_e(x).

📝 Punti essenziali

📐 Formula - Il numero di Euler è rappresentato dalla serie $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$. - Leonhard Euler

📌 Il logaritmo naturale è il logaritmo in base e, mentre un logaritmo in base b usa una base b diversa o non specificata.